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医学研究的数学建模

发布时间:2014-03-26 15:43所属分类:数学建模浏览:14次

【摘要】 罗列医学研究中经典的5种数学模型,阐述数学建模在医学研究中的重要意义,总结在临床实践过程中可能运用数学建模解决的实际问题。 【关键词】 医学研究 数学建模 临床实践 Mathematical Modeling in Medical Research Abstract Explain the mathema

  【摘要】   罗列医学研究中经典的5种数学模型,阐述数学建模在医学研究中的重要意义,总结在临床实践过程中可能运用数学建模解决的实际问题。

  【关键词】 医学研究  数学建模 临床实践

  Mathematical Modeling in Medical Research

  Abstract Explain the mathematical modeling’s meaning on five kinds of classics medical model,summarize the experience and promote the using of mathematical modeling of clinical practice.

  Key words medical research; mathematical modeling; clinical practice

  医学研究主要使用的是实验方法,但数学的方法也渗透其中。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性,它在农、林、医、经济、交通、能源等各领域的研究中越来越重要,在这些实际问题中常常需要建立数学模型来选优、预测。数学建模在医学中的应用,如药物性能的比较、传染病的预测和控制、病情的诊断等等,有着十分重要的地位和显著的效果。医学上治疗方法的效果、新药的疗效等,都要通过临床试验,产生大量的数据,然后通过统计分析,得出相应的结果加以评判。大量的医学研究,从头至尾都用到统计方法,包括实验设计(正交设计、均匀设计等)、数据采集与整理、数据分析(参数估计、假设检验、回归分析、统计描述等)等方法。总的来讲常用的有两大类数学方法:统计分析方法和数学模型方法。统计分析方法是医学中用得最多、最深入也很有效的数学方法,但另一方面,在对某些医学问题进行机理分析时,数学模型的方法用得较多,而且十分有效。

  1 医学研究中的数学模型方法

  这里所指的数学模型方法主要指用于描述医学中某些机理而用的数学方法,我们从5个经典的医学数学模型谈起。

  1.1 健康与疾病预测模型

  人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特定年龄段的人,今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7,若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率。

  马氏链中的正则链模型: 0.8w1+0.7w2=w10.2w1+0.3w2=w

  w满足∑ki=1wi=1解得:w=(7/9,2/9),10年后健康的概率是7/9,患病的概率是2/9。

  若考虑第3种状态——死亡,则可参考马氏链中的吸收链模型,在此不做详述。

  另外,马氏链模型还可以用于解决遗传病的问题,人类的许多疾病如白化病、色盲、多指等,都可以建立模型估计后代的发病率[1]。

  1.2 药代动力学模型

  药物在体内分布、吸收、排出的规律是药物研究必然关心的问题,试验的方法能有助于了解规律,但真正揭示规律还是有赖于数学模型的描述,主要用到模室模型的方法。通过假设人体是一个室、两个室、多个室等,可相应地得到一室模型、二室模型、多室模型等。室模型的建立还与给药方式有关,通常的给药方式有:快速静脉注射、恒速静脉滴注、口服或肌肉注射。我们以恒速静脉滴注的一室模型为例:

  x(t)表示t时刻体内的药量,k0为给药速率,药物消除为一级速率过程,消除速率常数为k,则容易得到如下的一室模型: dx(t)dt=k0-kx(t)x(0)=0

  这个模型是数学上的微分方程初值问题,我们很容易求出它的解来,即:

  x(t)=k0k(1-e-kt)

  容易看出t→∞时,x(t)趋近于一固定值k0/k,令x(t)=x0/2,求出t1/2,这便是药品性能的重要指标半衰期,即药物进入体内后消除一半所花的时间。对一特定药品,通过实验测量,估计出k0和k,我们便掌握了它在体内变化的主要规律。

  数学模型的方法能揭示一般性的规律,而要从种种特定的研究中总结出一般性规律是很困难的,因而对问题的机理进行数学抽象研究是十分有效的。

  1.3 医生决策模型

  例如,对某种病有以下统计结果:

  治愈瘫痪死亡等待a1a2a3治疗b1b2b3

  医生可根据经验或是统计的病历建立统计模型分析,等待与治疗之间有没有显著性差异,即治疗是否有效,此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果,可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等。在此,由于没有足够的数据,所以仅能提供一种模型(方差分析),供有临床经验的医生参考。

  1.4 传染病模型

  长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等,一直是医学专家和政府关注的课题,特别是2003年SARS病毒突袭人类,更引起人们对传染病传播机理的关注。基于一定的假设,采用微分方程(组)作为工具,我们容易描述出传染病的传播规律。假设人群分为健康者和病人,且两者可相互转化,则有如下SI模型: Ndidt=λNsi-μNi

  其中:N,i,s都是时间t的函数,N(t)是t时刻传染病考察地区的总人数,s(t)与i(t)是t时刻健康者和病人所占比例,λ是病人的日接触率,μ是健康人的日接触率。

  对这个模型的求解分析,知道λ>μ时,病人比例i(t)在t→∞时趋近于固定值(1-μ/λ);而λ<μ时,病人比例i(t)在t→∞时趋近于0。另外还可求出di/dt达到最大时的时刻tm,这个时刻可以认为是医院门诊量最大的一天,预示着传染高峰的到来,这些结论对卫生行政部门组织治疗提供了重要参考。

  如果考虑病人治愈后有免疫能力,即健康人中有一部分(病愈者)不会转化为病人了,需要建立新的模型。传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统,称移出者,假设总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为i(t)、s(t)、r(t),模型变为所谓的SIR模型:

  s(t)+i(t)+r(t)=1 N[i(t+Δt)-i(t)]=λNs(t)i(t)Δt-μNi(t)Δtdidt=λsi-μisdt=-λsii(0)=i0,s(0)=s0i0+s0≈1(通常r(0)=r0很小) N[s(t+Δt)-s(t)]=-λNs(t)i(t)Δt通过求解可得:i(s)=(s0+i0)-s+1σlnss0,其中σ=λ/μ。

  分析结果:

  s0>1/σ(P1)→i(t)先升后降至0,传染病蔓延;

  s0<1/σ(P2)→i(t)单调降至0,传染病不蔓延。

  从而可得到传染病不蔓延的条件:s0<1-σ 。

  提高阈值1/σσ(=λ/μ)↓λ↓,μ↑

  λ(日接触率)↓ 卫生水平↑,μ(日治愈率)↑ 医疗水平↑

  降低s0(s0+i0+r0=1)r0↑提高群体免疫[2]。

  1.5 减肥计划——节食与运动模型

  肥胖是一种病,并且可以导致其它多种病的发生。体重指数BMI=w(kg)/l2(m2)。 18.525~超重; BMI>30~肥胖。减肥成为人们追求的一种时尚。通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体的前提下达到减轻体重并维持下去的目标。

  (1)不运动,只节食的模型:

  w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)

  α:每8000千卡增加体重1千克,即α=1/8000(千克/千卡);w(k):第k周(末)体重;c(k):第k周吸收热量;β:代谢消耗系数(因人而异)。

  (2)运动加节食的模型:

  w(k+1)=w(k)+c(k+1)-(β+αγt)w(k)

  γ:每小时每千克体重消耗的热量(千卡 );t:每周运动时间(小时)。

  用数学模型的方法研究问题,不仅揭示了问题的内在规律,而且节省了成本或克服了实验的困难。我们不必重复地做实验得到数据,再通过统计分析来得到传染病的传播规律,问题中的参数改变,只须重新求解数学模型便可讨论系统受到的影响而不必重新做实验。

  2 医学研究中使用数学模型方法的重要意义

  2.1 有利于揭示研究对象的本质规律

  对象机理的探讨,实验的方法只能给出研究方向的揭示,规律本身的表述有赖于数学的刻划,如对DNA结构的刻划可使用拓扑学的方法。

  2.2 有利于以较小的代价进行重复和快速的实验,从而探索新的规律

  对已知问题进行数学刻划,建立它的数学描述,能为我们提供一个成本低廉的模型,它能模拟真实的对象,进而模拟对真实对象所作的实验,这样能大大降低成本,提高速度。例如心脏搭桥手术是一个高难、危险的手术,术前对病人心脏进行全面的分析以便确定最佳的手术方案是必要的,人们便利用数学方法通过计算机造出病人心脏模型,对各种手术方案进行比较、评价、选择,这种比选显然是实际操作不可能做到的。使用数学模型方法,能显著地促进医药研究。

  3 数学模型在其他临床实践方面的应用

  3.1 泌尿系统结石性质的测定

  CT作为一种重要的影象学诊断方法,已经成为现代医学检查中一个不可缺少的部分。泌尿系统结石是泌尿科的一个常见病,往往由于结石的性质没搞清就动手术。其实由于各种结石的化学组成不同,那么它们所对应的CT值就不同,测定不同结石所对应的CT值,经过统计分析,得出各种结石所对因应的CT值范围,那么,泌尿系统结石的病人只需做CT检查就可知道结石是草酸钙结石或是尿酸钙结石,或是其它性质,这样就有助于对症下药了。这种方法还可以用于身体其它部位的检查,用于疾病的鉴别诊断。

  3.2 手术指征的量化

  对于外科来说,最难确定的就是该不该手术,这就需要对病人的身体情况做一全面的估计。不同病的手术适应征不同,对于不同的病划分不同的层次,建立层次分析法模型,估计对于某种特定病的身体状况评分,则这种病的手术适应征评分就在一个闭区间内,评分过高,病人不能耐受手术;评分过低,可以采取保守治疗。显然,在这个模型中存在一个问题,就是层次的划分及各层次的权重。这项工作就需要临床经验丰富的医生或是科室主任来完成,供一线医生参考。有了手术指症的量化标准,刚进入临床的医生就能更快地进入角色。

  4 结束语

  数学模型方法对医学研究具有重要作用,但目前医学研究人员对此重视不够,再加上医学生的数学课程太少,医学研究中的数学方法很少,这已影响了现代化医学的进程。一门科学只有运用了数学,才能达到完善的程度,所以对医学生进行数学建模方法和能力的训练是十分必要的。

  【参考文献】

  1 姜启源,等.数学模型.第3版.北京:高等教育出版社,2003,8.

  2 赵静,等.数学建模与数学实验.第2版.北京,高等教育出版社,2003年.

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